Le filtre de Kalman

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Le filtre de Kalman est un algorithme mathématique utilisé pour estimer l’état d’un système dynamique en tenant compte des mesures bruitées. Il a été développé par Rudolf E. Kálmán en 1960 et est largement utilisé dans les domaines du traitement du signal, de la navigation et du contrôle des systèmes dynamiques.

Principe du filtre de Kalman

Le filtre de Kalman repose sur une approche probabiliste permettant de combiner les prédictions d’un modèle mathématique avec des observations bruitées pour obtenir une estimation optimale. Il fonctionne en deux phases principales :

1. Prédiction : estimation de l’état futur du système en utilisant un modèle de transition.
2. Mise à jour : correction de l’estimation en intégrant les nouvelles observations et en pondérant leur importance en fonction du bruit de mesure.

Formulation mathématique

Soit un système linéaire discret modélisé par :

Où :

• x_k est l’état du système à l’instant k.
• F_k est la matrice de transition d’état.
• B_k est la matrice de commande appliquée à l’entrée u_k.
• w_k est un bruit de processus gaussien de moyenne nulle et de covariance Q_k.
• z_k est l’observation bruitée.
• H_k est la matrice d’observation.
• v_k est un bruit de mesure gaussien de moyenne nulle et de covariance R_k.

L’algorithme du filtre de Kalman suit les étapes suivantes :

1. Prédiction de l’état : x̂_k|k-1 = F_kx̂_k-1|k-1 + B_ku_k
2. Prédiction de la covariance : P_k|k-1 = F_kP_k-1|k-1F_k^T + Q_k
3. Calcul du gain de Kalman : K_k = P_k|k-1H_k^T(H_kP_k|k-1H_k^T + R_k)^-1
4. Mise à jour de l’estimation de l’état : x̂_k|k = x̂_k|k-1 + K_k(z_k – H_kx̂_k|k-1)
5. Mise à jour de la covariance : P_k|k = (I – K_kH_k)P_k|k-1

Applications du filtre de Kalman

Le filtre de Kalman est utilisé dans de nombreux domaines, notamment :

• Navigation et guidage : correction des positions GPS en fusionnant les données de différents capteurs.
• Robotique : localisation et suivi des robots mobiles.
• Finance : prévision des tendances des marchés financiers.
• Traitement du signal : suppression du bruit dans les signaux audio et vidéo.

Le filtre de Kalman est un outil puissant pour estimer l’état d’un système en présence d’incertitude. Son extension aux systèmes non linéaires, connue sous le nom de filtre de Kalman étendu (EKF), permet d’appliquer cette méthode à des problèmes plus complexes. Son impact dans divers domaines technologiques et scientifiques en fait un algorithme incontournable pour l’ingénierie moderne.